text stringlengths 10k 10k | question stringlengths 21 657 | proof stringlengths 4 1.86k |
|---|---|---|
定理 85
4 练习 90
5 问题 94
第 5 章 整函数 96
1 Jensen 公式. 97
2 有限阶函数 99
3 无穷乘积 101
3. 1 一般性 101
3.2 例子 正弦函数的乘积公式 102
4 Weierstrass 无穷乘积 104
5 Hadamard 因子分解定理 106
6 练习 110
7 问题 113
第 6 章 Gamma 函数和 Zeta 函数 115
I Gamma 函数 115
1.1 解析延拓 116
\( {1.2\Gamma } \) 函数的性质 118
2 Zeta 函数 122
2. 1 泛函方程和解析延拓 122
3 练习 127
4 问题 131
第 7 章 \( \; \) Zeta 函数和素数定理 133
1 Zeta 函数的零点 134
\( {1.1}\;1/\zeta \left( s\right) \) 的估计 137
2 函数 \( \psi \) 和 \( {\psi }_{1} \) 的简化 138
\( {2.1}{\psi }_{1} \) 的渐近证明 142
3 练习 146
4 问题 149
第 8 章 共形映射 151
1 共形等价和举例 152
1.1 圆盘和上半平面 153
1.2 进一步举例 154
1.3 带形区域中的 Dirichlet 问题 156
2 Schwarz 引理 圆盘和上半平面的自同构 160
2. 1 圆盘内的自同构 161
2.2 上半平面的自同构 163
3 黎曼映射定理 164
3. 1 必要条件和定理的陈述 164
3. 2 Montel 定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz-Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4.5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第 9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式. 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2.1 柯西定理的一般形式的证明 268
注记和参考. 270
参考文献 273
## 第 1 章 复分析预备知识
在过去的两个世纪里, 数学获得了长足的发展, 这在很大程度上要得益于复数的引进。而矛盾的是, 这一切都是建立在一个看似荒谬的理念之上, 那就是有一些数它们的平方是负数.
E. Borel, 1952
本章主要介绍一些重要的预备知识, 包括复数与复平面的基本性质、收敛性以及定义在复平面上的集合, 这些知识在第一册 (傅里叶分析) 中都已经提到过.
随后给出解析函数的一些主要概念, 此类函数是一类具有某种特性的可微函数. 接着又讨论了柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations) 和幂级数.
最后, 定义了曲线及函数沿曲线积分的概念. 特别地, 我们将证明一个很重要的结论,即如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用.
这些预备知识将贯穿整个复分析的始终.
## 1 复数和复平面
本节中的很多结论在本书第一册中都已经用到过.
## 1.1 基本性质
复数的基本形式为 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,其中 \( x, y \) 均为任意实数, \( \mathrm{i} \) 是虚单位,它满足 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) . 实数 \( x, y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,常记为
\[
x = \operatorname{Re}\left( z\right), y = \operatorname{Im}\left( z\right) .
\]
实数可以看作虚部为零的复数, 而实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数.
复数集一般记为 \( \mathbf{C} \) ,不难看出,复数和欧式空间中的平面中的点是一一对应的. 事实上,对任意复数 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C} \) ,都有唯一的点 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) 与之对应,反之亦然. 例如,0 相当于原点,而 \( \mathrm{i} \) 相当于点 \( \left( {0,1}\right) \) . 自然地,将平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的 \( x \) 轴和 \( y \) 轴分别定义为实轴和虚轴,因为 \( x \) 轴上的点对应着实数, \( y \) 轴上非原点的点对应着纯虚数. 这样表示复数 \( z \) 的平面称为复平面或 \( z \) 平面. (见图 1)
只要保证 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) ,复数的加法和乘法运算
图 1 复平面
完全遵循实数的运算法则. 如果 \( {z}_{1} = {x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1} \) , \( {z}_{2} = {x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2} \) ,那么
\[
{z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) + \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right) ,
\]
\[
= \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{y}_{1} + {y}_{2}}\right)
\]
并且
\[
{z}_{1}{z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{2} + \mathrm{i}{x}_{1}{y}_{2} + \mathrm{i}{y}_{1}{x}_{2} + {\mathrm{i}}^{2}{y}_{1}{y}_{2}
\]
\[
= \left( {{x}_{1}{x}_{2} - {y}_{1}{y}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1}{y}_{2} + {y}_{1}{x}_{2}}\right) \text{.}
\]
由上述两个公式定义的复数的加法和乘法运算一定遵循以下运算规律:
- 交换律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C},{z}_{1} + {z}_{2} = \)
\( {z}_{2} + {z}_{1} \) 且 \( {z}_{1}{z}_{2} = {z}_{2}{z}_{1} \) .
- 结合律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},\left( {{z}_{1} + {z}_{2}}\right) + {z}_{3} = {z}_{1} + \left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) \) 且 \( \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) {z}_{3} = {z}_{1}\left( {{z}_{2}{z}_{3}}\right) \) .
- 分配律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},{z}_{1}\left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) = {z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} \) .
显然,复数的加法相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中二维向量的加法,而复数的乘法则相当于引入了带有伸缩的旋转. 事实上, 可以引入极坐标来表示复数, 观察到某个复数与 \( \mathrm{i} \) 相乘,则相当于该复数按逆时针方向旋转 \( \pi /2 \) .
复数的模或绝对值与欧几里得 (Euclidean) 平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的模长的定义是一致的. 通常,复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的绝对值定义为
\[
\left| z\right| = {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{1/2},
\]
所以 \( \left| z\right| \) 恰好是点 \( \left( {x, y}\right) \) 到原点的距离. 特别地,对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,均满足三角不等式
\[
\left| {z + w}\right| \leq \left| z\right| + \left| w\right| .
\]
与此同时,还可以得到另外几个比较重要的不等式,即对任意 \( z \in \mathbf{C} \) ,总满足 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| ,\left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) ,并且对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,
\[
\parallel z\parallel - \parallel w\parallel \leq \left| {z - w}\right| .
\]
这是因为下面的三角不等式
\[
\left| z\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| w\right| \text{ 和 }\left| w\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| z\right|
\]
定义复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的共轭复数为
\[
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
\]
它是由复数在复平面中关于实轴反射而来, 也就是说, 在复平面中, 两个共轭复数一定是关于实轴对称的. 事实上,当且仅当 \( z = \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为实数,当且仅当 \( z = - \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为纯虚数 \( \left( {z\text{不等于 0}}\right) \) .
易证
\[
\operatorname{Re}\left( z\right) = \frac{z + \bar{z}}{2},\;\operatorname{Im}\left( z\right) = \frac{z - \bar{z}}{2\mathrm{i}}.
\]
且 \( {\left| z\right| }^{2} = z\bar{z} \) ,有推论,只要 \( z \neq 0 \) ,那么
\[
\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
任意非零复数都可以表示为极坐标的形式, 即
\[
z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },
\]
其中 \( r > 0 \) 表示复数 \( z \) 的模, \( \theta \in \mathbf{R} \) 表示复数 \( z \) 的辐角（任意非零复数 \( z \) 都有无穷多个辐角,两个辐角间相差 \( {2\pi } \) 的整数倍),以 \( \arg z \) 表示其中的一个特定值,即主值, 称为复数 \( z \) 的主辐角,且
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta .
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right| = 1 \) ,所以 \( r = \left| z\right| \) ,而 \( \theta \) 则是从原点
图 2 复数的极坐标形式
出发且通过复数 \( z \) 的射线与实轴的正方向所成的角 (逆时针方向为正) (见图 2).
根据复数的极坐标表达方式,若 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) , \( w = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,那么
\[
{zw} = {rs}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \varphi }\right) }.
\]
因此,复数的乘法就相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的相似扩大 (也就是带有伸缩的旋转).
## 1.2 收敛性
根据上面所提到的复数的算术和几何性质, 得到复数的收敛和极限的重要概念.
序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) ,若存在 \( w \in \mathbf{C} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left| {{z}_{n} - w}\right| = 0\text{ (或者 }w = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n}\text{ ),}
\]
则称序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 收敛于 \( w \) .
以上收敛的概念并不是新的定义. 事实上,因为复数集 \( \mathbf{C} \) 中的绝对值和欧几里得平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中定义的距离是一致的,所以序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当序列在复平面上对应的点列收敛于 \( w \) 在复平面中对应的点.
特别地,序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 的实部序列和虚部序列分别收敛于 \( w \) 的实部和虚部, 此结论作为练习留给读者证明.
若得不到序列确切的收敛值 (例如 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}1/{n}^{3} \) ),此时也可以由序列本身来描述收敛. 序列 \( \left| {z}_{n}\right| \) 称为柯西列 (或基本列),当 \( n, m \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \rightarrow 0
\]
也就是说,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( N > 0 \) ,当 \( n, m > N \) 时,总有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) . 实分析中一个很重要的结论是实数集 \( \mathbf{R} \) 是完备的,实数集中任何柯西列都收敛 \( {}^{ \ominus } \) .
---
称为柯西收敛准则, 等价于 Bolzano- Weierstrass 定理.
---
序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为柯西列当且仅当 \( {z}_{n} \) 的实部和虚部均为柯西列,因此复数集 \( \mathbf{C} \) 中的任何柯西列都在 \( \mathbf{C} \) 中收敛. 从而得出以下结论.
定理 1.1 复数集 \( \mathrm{C} \) 是完备的.
接下来我们考虑一些简单的拓扑知识, 这些知识对于研究函数是非常必要的. 并注意到, 这里并没有引入新的概念, 而是将之前的概念用新的词汇重新描述而已.
## 1.3 复平面中的集合
如果 \( {z}_{0} \in \mathbf{C}, r > 0 \) ,定义 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 为以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开圆盘,集合 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 中的任意元素与 \( {z}_{0} \) 之差的绝对值都小于半径 \( r \) ,即
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
这就是指平面中以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘. 以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的闭圆盘记为 \( {\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq r}\right\} ,
\]
并且开圆盘和闭圆盘的边界都是圆周
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
因为单位圆盘 (中心在原点, 半径为 1 的开圆盘) 在接下来的章节中扮演着重要的角色,这里记为 \( D \) ,
\[
D = \{ z \in \mathbf{C} : \left| z\right| < 1\} .
\]
给定集合 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) ,如果存在 \( r > 0 \) 使得
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \subset \Omega ,
\]
称 \( {z}_{0} \) 为 \( \Omega \) 的内点. 集合 \( \Omega \) 的内部是由它的所有内点组成的集合. 因此,如果集合 \( \Omega \) 中的所有点都是它的内点,则 \( \Omega \) 为开集,此定义与 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中开集的定义是一致的.
如果集合 \( \Omega \) 的余集 \( {\Omega }^{\mathrm{c}} = \mathrm{C} - \Omega \) 是开集,那么集合 \( \Omega \) 称为闭集. 这个性质可以按照极限点更好地描述. 如果存在序列 \( {z}_{n} \in \Omega \) ,且总有 \( {z}_{n} \neq z \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = z \) , 则称点 \( z \in \mathbf{C} \) 是集合 \( \Omega \) 中的极限点. 读者容易证明集合为闭集当且仅当该集合包含了它所有的极限点. 集合 \( \Omega \) 的闭包是由集合 \( \Omega \) 与它的极限点合并构成的,通常记为 \( \bar{\Omega } \) . 集合 \( \Omega \) 的边界等于它的闭包减去它的内部,通常记为 \( \partial \Omega \) .
集合 \( \Omega \) 有界等价于存在 \( M > 0 \) 使得任意的 \( z \in \Omega \) 均满足 \( \left| z\right| < M \) . 也就是说, 集合 \( \Omega \) 必包含在某个大的圆周内. 如果集合 \( \Omega \) 有界,定义它的直径为
\[
\operatorname{diam}\left( \Omega \right) = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in \Omega }}\left| {z - w}\right| .
\]
有界闭集 \( \Omega \) 称为紧的. 根据实变量的情形,可以证明以下结论.
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与 | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz-Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4.5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第 9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式. 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2.1 柯西定理的一般形式的证明 268
注记和参考. 270
参考文献 273
## 第 1 章 复分析预备知识
在过去的两个世纪里, 数学获得了长足的发展, 这在很大程度上要得益于复数的引进。而矛盾的是, 这一切都是建立在一个看似荒谬的理念之上, 那就是有一些数它们的平方是负数.
E. Borel, 1952
本章主要介绍一些重要的预备知识, 包括复数与复平面的基本性质、收敛性以及定义在复平面上的集合, 这些知识在第一册 (傅里叶分析) 中都已经提到过.
随后给出解析函数的一些主要概念, 此类函数是一类具有某种特性的可微函数. 接着又讨论了柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations) 和幂级数.
最后, 定义了曲线及函数沿曲线积分的概念. 特别地, 我们将证明一个很重要的结论,即如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用.
这些预备知识将贯穿整个复分析的始终.
## 1 复数和复平面
本节中的很多结论在本书第一册中都已经用到过.
## 1.1 基本性质
复数的基本形式为 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,其中 \( x, y \) 均为任意实数, \( \mathrm{i} \) 是虚单位,它满足 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) . 实数 \( x, y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,常记为
\[
x = \operatorname{Re}\left( z\right), y = \operatorname{Im}\left( z\right) .
\]
实数可以看作虚部为零的复数, 而实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数.
复数集一般记为 \( \mathbf{C} \) ,不难看出,复数和欧式空间中的平面中的点是一一对应的. 事实上,对任意复数 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C} \) ,都有唯一的点 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) 与之对应,反之亦然. 例如,0 相当于原点,而 \( \mathrm{i} \) 相当于点 \( \left( {0,1}\right) \) . 自然地,将平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的 \( x \) 轴和 \( y \) 轴分别定义为实轴和虚轴,因为 \( x \) 轴上的点对应着实数, \( y \) 轴上非原点的点对应着纯虚数. 这样表示复数 \( z \) 的平面称为复平面或 \( z \) 平面. (见图 1)
只要保证 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) ,复数的加法和乘法运算
图 1 复平面
完全遵循实数的运算法则. 如果 \( {z}_{1} = {x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1} \) , \( {z}_{2} = {x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2} \) ,那么
\[
{z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) + \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right) ,
\]
\[
= \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{y}_{1} + {y}_{2}}\right)
\]
并且
\[
{z}_{1}{z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{2} + \mathrm{i}{x}_{1}{y}_{2} + \mathrm{i}{y}_{1}{x}_{2} + {\mathrm{i}}^{2}{y}_{1}{y}_{2}
\]
\[
= \left( {{x}_{1}{x}_{2} - {y}_{1}{y}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1}{y}_{2} + {y}_{1}{x}_{2}}\right) \text{.}
\]
由上述两个公式定义的复数的加法和乘法运算一定遵循以下运算规律:
- 交换律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C},{z}_{1} + {z}_{2} = \)
\( {z}_{2} + {z}_{1} \) 且 \( {z}_{1}{z}_{2} = {z}_{2}{z}_{1} \) .
- 结合律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},\left( {{z}_{1} + {z}_{2}}\right) + {z}_{3} = {z}_{1} + \left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) \) 且 \( \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) {z}_{3} = {z}_{1}\left( {{z}_{2}{z}_{3}}\right) \) .
- 分配律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},{z}_{1}\left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) = {z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} \) .
显然,复数的加法相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中二维向量的加法,而复数的乘法则相当于引入了带有伸缩的旋转. 事实上, 可以引入极坐标来表示复数, 观察到某个复数与 \( \mathrm{i} \) 相乘,则相当于该复数按逆时针方向旋转 \( \pi /2 \) .
复数的模或绝对值与欧几里得 (Euclidean) 平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的模长的定义是一致的. 通常,复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的绝对值定义为
\[
\left| z\right| = {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{1/2},
\]
所以 \( \left| z\right| \) 恰好是点 \( \left( {x, y}\right) \) 到原点的距离. 特别地,对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,均满足三角不等式
\[
\left| {z + w}\right| \leq \left| z\right| + \left| w\right| .
\]
与此同时,还可以得到另外几个比较重要的不等式,即对任意 \( z \in \mathbf{C} \) ,总满足 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| ,\left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) ,并且对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,
\[
\parallel z\parallel - \parallel w\parallel \leq \left| {z - w}\right| .
\]
这是因为下面的三角不等式
\[
\left| z\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| w\right| \text{ 和 }\left| w\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| z\right|
\]
定义复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的共轭复数为
\[
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
\]
它是由复数在复平面中关于实轴反射而来, 也就是说, 在复平面中, 两个共轭复数一定是关于实轴对称的. 事实上,当且仅当 \( z = \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为实数,当且仅当 \( z = - \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为纯虚数 \( \left( {z\text{不等于 0}}\right) \) .
易证
\[
\operatorname{Re}\left( z\right) = \frac{z + \bar{z}}{2},\;\operatorname{Im}\left( z\right) = \frac{z - \bar{z}}{2\mathrm{i}}.
\]
且 \( {\left| z\right| }^{2} = z\bar{z} \) ,有推论,只要 \( z \neq 0 \) ,那么
\[
\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
任意非零复数都可以表示为极坐标的形式, 即
\[
z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },
\]
其中 \( r > 0 \) 表示复数 \( z \) 的模, \( \theta \in \mathbf{R} \) 表示复数 \( z \) 的辐角（任意非零复数 \( z \) 都有无穷多个辐角,两个辐角间相差 \( {2\pi } \) 的整数倍),以 \( \arg z \) 表示其中的一个特定值,即主值, 称为复数 \( z \) 的主辐角,且
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta .
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right| = 1 \) ,所以 \( r = \left| z\right| \) ,而 \( \theta \) 则是从原点
图 2 复数的极坐标形式
出发且通过复数 \( z \) 的射线与实轴的正方向所成的角 (逆时针方向为正) (见图 2).
根据复数的极坐标表达方式,若 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) , \( w = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,那么
\[
{zw} = {rs}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \varphi }\right) }.
\]
因此,复数的乘法就相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的相似扩大 (也就是带有伸缩的旋转).
## 1.2 收敛性
根据上面所提到的复数的算术和几何性质, 得到复数的收敛和极限的重要概念.
序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) ,若存在 \( w \in \mathbf{C} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left| {{z}_{n} - w}\right| = 0\text{ (或者 }w = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n}\text{ ),}
\]
则称序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 收敛于 \( w \) .
以上收敛的概念并不是新的定义. 事实上,因为复数集 \( \mathbf{C} \) 中的绝对值和欧几里得平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中定义的距离是一致的,所以序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当序列在复平面上对应的点列收敛于 \( w \) 在复平面中对应的点.
特别地,序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 的实部序列和虚部序列分别收敛于 \( w \) 的实部和虚部, 此结论作为练习留给读者证明.
若得不到序列确切的收敛值 (例如 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}1/{n}^{3} \) ),此时也可以由序列本身来描述收敛. 序列 \( \left| {z}_{n}\right| \) 称为柯西列 (或基本列),当 \( n, m \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \rightarrow 0
\]
也就是说,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( N > 0 \) ,当 \( n, m > N \) 时,总有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) . 实分析中一个很重要的结论是实数集 \( \mathbf{R} \) 是完备的,实数集中任何柯西列都收敛 \( {}^{ \ominus } \) .
---
称为柯西收敛准则, 等价于 Bolzano- Weierstrass 定理.
---
序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为柯西列当且仅当 \( {z}_{n} \) 的实部和虚部均为柯西列,因此复数集 \( \mathbf{C} \) 中的任何柯西列都在 \( \mathbf{C} \) 中收敛. 从而得出以下结论.
定理 1.1 复数集 \( \mathrm{C} \) 是完备的.
接下来我们考虑一些简单的拓扑知识, 这些知识对于研究函数是非常必要的. 并注意到, 这里并没有引入新的概念, 而是将之前的概念用新的词汇重新描述而已.
## 1.3 复平面中的集合
如果 \( {z}_{0} \in \mathbf{C}, r > 0 \) ,定义 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 为以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开圆盘,集合 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 中的任意元素与 \( {z}_{0} \) 之差的绝对值都小于半径 \( r \) ,即
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
这就是指平面中以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘. 以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的闭圆盘记为 \( {\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq r}\right\} ,
\]
并且开圆盘和闭圆盘的边界都是圆周
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
因为单位圆盘 (中心在原点, 半径为 1 的开圆盘) 在接下来的章节中扮演着重要的角色,这里记为 \( D \) ,
\[
D = \{ z \in \mathbf{C} : \left| z\right| < 1\} .
\]
给定集合 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) ,如果存在 \( r > 0 \) 使得
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \subset \Omega ,
\]
称 \( {z}_{0} \) 为 \( \Omega \) 的内点. 集合 \( \Omega \) 的内部是由它的所有内点组成的集合. 因此,如果集合 \( \Omega \) 中的所有点都是它的内点,则 \( \Omega \) 为开集,此定义与 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中开集的定义是一致的.
如果集合 \( \Omega \) 的余集 \( {\Omega }^{\mathrm{c}} = \mathrm{C} - \Omega \) 是开集,那么集合 \( \Omega \) 称为闭集. 这个性质可以按照极限点更好地描述. 如果存在序列 \( {z}_{n} \in \Omega \) ,且总有 \( {z}_{n} \neq z \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = z \) , 则称点 \( z \in \mathbf{C} \) 是集合 \( \Omega \) 中的极限点. 读者容易证明集合为闭集当且仅当该集合包含了它所有的极限点. 集合 \( \Omega \) 的闭包是由集合 \( \Omega \) 与它的极限点合并构成的,通常记为 \( \bar{\Omega } \) . 集合 \( \Omega \) 的边界等于它的闭包减去它的内部,通常记为 \( \partial \Omega \) .
集合 \( \Omega \) 有界等价于存在 \( M > 0 \) 使得任意的 \( z \in \Omega \) 均满足 \( \left| z\right| < M \) . 也就是说, 集合 \( \Omega \) 必包含在某个大的圆周内. 如果集合 \( \Omega \) 有界,定义它的直径为
\[
\operatorname{diam}\left( \Omega \right) = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in \Omega }}\left| {z - w}\right| .
\]
有界闭集 \( \Omega \) 称为紧的. 根据实变量的情形,可以证明以下结论.
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集合 \( \Omega \) 是紧的充分必要条件是 \( \Omega \) 的任意开覆盖中必可选出一个有限子覆盖.
关于紧还有一个很重要的性质, 就是嵌套集. 这个结论不但在第 2 章的 Gour-sat 定理的证明中用到, 早在开始研究复值函数论时就已经用过.
命题 1.4 如果 \( {\Omega }_{1} \supset {\Omega }_{2} \supset \cdots \supset {\Omega }_{n} \supset \cdots \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的非空紧集序列,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0,
\]
那么一定存在唯一的 \( w \in \mathbf{C} \) ,使得对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) .
证明 在每个 \( {\Omega }_{n} \) 中选择一个 \( {z}_{n} \) . 根据条件 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,则 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是柯西列, 因此 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 一定收敛于某个极限值,不妨设该极限为 \( w \) . 又因为 \( {\Omeg | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式. 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2.1 柯西定理的一般形式的证明 268
注记和参考. 270
参考文献 273
## 第 1 章 复分析预备知识
在过去的两个世纪里, 数学获得了长足的发展, 这在很大程度上要得益于复数的引进。而矛盾的是, 这一切都是建立在一个看似荒谬的理念之上, 那就是有一些数它们的平方是负数.
E. Borel, 1952
本章主要介绍一些重要的预备知识, 包括复数与复平面的基本性质、收敛性以及定义在复平面上的集合, 这些知识在第一册 (傅里叶分析) 中都已经提到过.
随后给出解析函数的一些主要概念, 此类函数是一类具有某种特性的可微函数. 接着又讨论了柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations) 和幂级数.
最后, 定义了曲线及函数沿曲线积分的概念. 特别地, 我们将证明一个很重要的结论,即如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用.
这些预备知识将贯穿整个复分析的始终.
## 1 复数和复平面
本节中的很多结论在本书第一册中都已经用到过.
## 1.1 基本性质
复数的基本形式为 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,其中 \( x, y \) 均为任意实数, \( \mathrm{i} \) 是虚单位,它满足 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) . 实数 \( x, y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,常记为
\[
x = \operatorname{Re}\left( z\right), y = \operatorname{Im}\left( z\right) .
\]
实数可以看作虚部为零的复数, 而实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数.
复数集一般记为 \( \mathbf{C} \) ,不难看出,复数和欧式空间中的平面中的点是一一对应的. 事实上,对任意复数 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C} \) ,都有唯一的点 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) 与之对应,反之亦然. 例如,0 相当于原点,而 \( \mathrm{i} \) 相当于点 \( \left( {0,1}\right) \) . 自然地,将平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的 \( x \) 轴和 \( y \) 轴分别定义为实轴和虚轴,因为 \( x \) 轴上的点对应着实数, \( y \) 轴上非原点的点对应着纯虚数. 这样表示复数 \( z \) 的平面称为复平面或 \( z \) 平面. (见图 1)
只要保证 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) ,复数的加法和乘法运算
图 1 复平面
完全遵循实数的运算法则. 如果 \( {z}_{1} = {x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1} \) , \( {z}_{2} = {x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2} \) ,那么
\[
{z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) + \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right) ,
\]
\[
= \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{y}_{1} + {y}_{2}}\right)
\]
并且
\[
{z}_{1}{z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{2} + \mathrm{i}{x}_{1}{y}_{2} + \mathrm{i}{y}_{1}{x}_{2} + {\mathrm{i}}^{2}{y}_{1}{y}_{2}
\]
\[
= \left( {{x}_{1}{x}_{2} - {y}_{1}{y}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1}{y}_{2} + {y}_{1}{x}_{2}}\right) \text{.}
\]
由上述两个公式定义的复数的加法和乘法运算一定遵循以下运算规律:
- 交换律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C},{z}_{1} + {z}_{2} = \)
\( {z}_{2} + {z}_{1} \) 且 \( {z}_{1}{z}_{2} = {z}_{2}{z}_{1} \) .
- 结合律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},\left( {{z}_{1} + {z}_{2}}\right) + {z}_{3} = {z}_{1} + \left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) \) 且 \( \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) {z}_{3} = {z}_{1}\left( {{z}_{2}{z}_{3}}\right) \) .
- 分配律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},{z}_{1}\left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) = {z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} \) .
显然,复数的加法相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中二维向量的加法,而复数的乘法则相当于引入了带有伸缩的旋转. 事实上, 可以引入极坐标来表示复数, 观察到某个复数与 \( \mathrm{i} \) 相乘,则相当于该复数按逆时针方向旋转 \( \pi /2 \) .
复数的模或绝对值与欧几里得 (Euclidean) 平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的模长的定义是一致的. 通常,复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的绝对值定义为
\[
\left| z\right| = {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{1/2},
\]
所以 \( \left| z\right| \) 恰好是点 \( \left( {x, y}\right) \) 到原点的距离. 特别地,对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,均满足三角不等式
\[
\left| {z + w}\right| \leq \left| z\right| + \left| w\right| .
\]
与此同时,还可以得到另外几个比较重要的不等式,即对任意 \( z \in \mathbf{C} \) ,总满足 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| ,\left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) ,并且对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,
\[
\parallel z\parallel - \parallel w\parallel \leq \left| {z - w}\right| .
\]
这是因为下面的三角不等式
\[
\left| z\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| w\right| \text{ 和 }\left| w\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| z\right|
\]
定义复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的共轭复数为
\[
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
\]
它是由复数在复平面中关于实轴反射而来, 也就是说, 在复平面中, 两个共轭复数一定是关于实轴对称的. 事实上,当且仅当 \( z = \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为实数,当且仅当 \( z = - \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为纯虚数 \( \left( {z\text{不等于 0}}\right) \) .
易证
\[
\operatorname{Re}\left( z\right) = \frac{z + \bar{z}}{2},\;\operatorname{Im}\left( z\right) = \frac{z - \bar{z}}{2\mathrm{i}}.
\]
且 \( {\left| z\right| }^{2} = z\bar{z} \) ,有推论,只要 \( z \neq 0 \) ,那么
\[
\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
任意非零复数都可以表示为极坐标的形式, 即
\[
z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },
\]
其中 \( r > 0 \) 表示复数 \( z \) 的模, \( \theta \in \mathbf{R} \) 表示复数 \( z \) 的辐角（任意非零复数 \( z \) 都有无穷多个辐角,两个辐角间相差 \( {2\pi } \) 的整数倍),以 \( \arg z \) 表示其中的一个特定值,即主值, 称为复数 \( z \) 的主辐角,且
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta .
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right| = 1 \) ,所以 \( r = \left| z\right| \) ,而 \( \theta \) 则是从原点
图 2 复数的极坐标形式
出发且通过复数 \( z \) 的射线与实轴的正方向所成的角 (逆时针方向为正) (见图 2).
根据复数的极坐标表达方式,若 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) , \( w = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,那么
\[
{zw} = {rs}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \varphi }\right) }.
\]
因此,复数的乘法就相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的相似扩大 (也就是带有伸缩的旋转).
## 1.2 收敛性
根据上面所提到的复数的算术和几何性质, 得到复数的收敛和极限的重要概念.
序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) ,若存在 \( w \in \mathbf{C} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left| {{z}_{n} - w}\right| = 0\text{ (或者 }w = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n}\text{ ),}
\]
则称序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 收敛于 \( w \) .
以上收敛的概念并不是新的定义. 事实上,因为复数集 \( \mathbf{C} \) 中的绝对值和欧几里得平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中定义的距离是一致的,所以序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当序列在复平面上对应的点列收敛于 \( w \) 在复平面中对应的点.
特别地,序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 的实部序列和虚部序列分别收敛于 \( w \) 的实部和虚部, 此结论作为练习留给读者证明.
若得不到序列确切的收敛值 (例如 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}1/{n}^{3} \) ),此时也可以由序列本身来描述收敛. 序列 \( \left| {z}_{n}\right| \) 称为柯西列 (或基本列),当 \( n, m \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \rightarrow 0
\]
也就是说,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( N > 0 \) ,当 \( n, m > N \) 时,总有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) . 实分析中一个很重要的结论是实数集 \( \mathbf{R} \) 是完备的,实数集中任何柯西列都收敛 \( {}^{ \ominus } \) .
---
称为柯西收敛准则, 等价于 Bolzano- Weierstrass 定理.
---
序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为柯西列当且仅当 \( {z}_{n} \) 的实部和虚部均为柯西列,因此复数集 \( \mathbf{C} \) 中的任何柯西列都在 \( \mathbf{C} \) 中收敛. 从而得出以下结论.
定理 1.1 复数集 \( \mathrm{C} \) 是完备的.
接下来我们考虑一些简单的拓扑知识, 这些知识对于研究函数是非常必要的. 并注意到, 这里并没有引入新的概念, 而是将之前的概念用新的词汇重新描述而已.
## 1.3 复平面中的集合
如果 \( {z}_{0} \in \mathbf{C}, r > 0 \) ,定义 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 为以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开圆盘,集合 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 中的任意元素与 \( {z}_{0} \) 之差的绝对值都小于半径 \( r \) ,即
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
这就是指平面中以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘. 以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的闭圆盘记为 \( {\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq r}\right\} ,
\]
并且开圆盘和闭圆盘的边界都是圆周
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
因为单位圆盘 (中心在原点, 半径为 1 的开圆盘) 在接下来的章节中扮演着重要的角色,这里记为 \( D \) ,
\[
D = \{ z \in \mathbf{C} : \left| z\right| < 1\} .
\]
给定集合 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) ,如果存在 \( r > 0 \) 使得
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \subset \Omega ,
\]
称 \( {z}_{0} \) 为 \( \Omega \) 的内点. 集合 \( \Omega \) 的内部是由它的所有内点组成的集合. 因此,如果集合 \( \Omega \) 中的所有点都是它的内点,则 \( \Omega \) 为开集,此定义与 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中开集的定义是一致的.
如果集合 \( \Omega \) 的余集 \( {\Omega }^{\mathrm{c}} = \mathrm{C} - \Omega \) 是开集,那么集合 \( \Omega \) 称为闭集. 这个性质可以按照极限点更好地描述. 如果存在序列 \( {z}_{n} \in \Omega \) ,且总有 \( {z}_{n} \neq z \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = z \) , 则称点 \( z \in \mathbf{C} \) 是集合 \( \Omega \) 中的极限点. 读者容易证明集合为闭集当且仅当该集合包含了它所有的极限点. 集合 \( \Omega \) 的闭包是由集合 \( \Omega \) 与它的极限点合并构成的,通常记为 \( \bar{\Omega } \) . 集合 \( \Omega \) 的边界等于它的闭包减去它的内部,通常记为 \( \partial \Omega \) .
集合 \( \Omega \) 有界等价于存在 \( M > 0 \) 使得任意的 \( z \in \Omega \) 均满足 \( \left| z\right| < M \) . 也就是说, 集合 \( \Omega \) 必包含在某个大的圆周内. 如果集合 \( \Omega \) 有界,定义它的直径为
\[
\operatorname{diam}\left( \Omega \right) = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in \Omega }}\left| {z - w}\right| .
\]
有界闭集 \( \Omega \) 称为紧的. 根据实变量的情形,可以证明以下结论.
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集合 \( \Omega \) 是紧的充分必要条件是 \( \Omega \) 的任意开覆盖中必可选出一个有限子覆盖.
关于紧还有一个很重要的性质, 就是嵌套集. 这个结论不但在第 2 章的 Gour-sat 定理的证明中用到, 早在开始研究复值函数论时就已经用过.
命题 1.4 如果 \( {\Omega }_{1} \supset {\Omega }_{2} \supset \cdots \supset {\Omega }_{n} \supset \cdots \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的非空紧集序列,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0,
\]
那么一定存在唯一的 \( w \in \mathbf{C} \) ,使得对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) .
证明 在每个 \( {\Omega }_{n} \) 中选择一个 \( {z}_{n} \) . 根据条件 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,则 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是柯西列, 因此 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 一定收敛于某个极限值,不妨设该极限为 \( w \) . 又因为 \( {\Omega }_{n} \) 为紧集,所以对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) . 下面证明 \( w \) 的唯一性,假设存在 \( {w}^{\prime } \) 也满足条件,且 \( {w}^{\prime } \neq w \) ,那么 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| > 0 \) ,这与 \( \operatorname{diam | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集合 \( \Omega \) 是紧的充分必要条件是 \( \Omega \) 的任意开覆盖中必可选出一个有限子覆盖.
关于紧还有一个很重要的性质, 就是嵌套集. 这个结论不但在第 2 章的 Gour-sat 定理的证明中用到, 早在开始研究复值函数论时就已经用过.
命题 1.4 如果 \( {\Omega }_{1} \supset {\Omega }_{2} \supset \cdots \supset {\Omega }_{n} \supset \cdots \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的非空紧集序列,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0,
\]
那么一定存在唯一的 \( w \in \mathbf{C} \) ,使得对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) .
证明 在每个 \( {\Omega }_{n} \) 中选择一个 \( {z}_{n} \) . 根据条件 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,则 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是柯西列, 因此 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 一定收敛于某个极限值,不妨设该极限为 \( w \) . 又因为 \( {\Omega }_{n} \) 为紧集,所以对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) . 下面证明 \( w \) 的唯一性,假设存在 \( {w}^{\prime } \) 也满足条件,且 \( {w}^{\prime } \neq w \) ,那么 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| > 0 \) ,这与 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) 矛盾,即 \( w \) 是唯一的.
最后要介绍的概念就是连通性. 开集 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是连通的,即如果它不能分成两个不相交的非空开集 \( {\Omega }_{1},{\Omega }_{2} \) ,使得
\[
\Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2}
\]
复数集 \( \mathbf{C} \) 中连通的开集称为区域. 类似地,闭集 \( F \) 是连通的,即如果它不能分成两个不相交的非空闭集 \( {F}_{1},{F}_{2} \) ,使得 \( F = {F}_{1} \cup {F}_{2} \) .
连通性还可以等价地用曲线描述,这种描述应用更广泛: \( \Omega \) 是连通的开集, 当且仅当 \( \Omega \) 中的任意两点都可以由含于 \( \Omega \) 内的某条曲线 \( \gamma \) 连接起来. 详见练习 5.
## 2 定义在复平面上的函数
## 2.1 连续函数
设 \( f \) 是定义在复数集合 \( \Omega \) 上的函数. 若对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( z,{z}_{0} \in \) \( \Omega ,\left| {z - {z}_{0}}\right| < \delta \) 时,总有 \( \left| {f\left( z\right) - f\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon \) ,则称函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处连续. 或等价地定义为对任意序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots \mid \subset \Omega }\right. \) ,如果 \( \lim {z}_{n} = {z}_{0} \) ,那么 \( \lim f\left( {z}_{n}\right) = f\left( {z}_{0}\right) \) .
如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 中的任意一点处都连续,则称 \( f \) 在集合 \( \Omega \) 上连续. 连续函数的和或乘积依然是连续的.
因为复数收敛的概念与平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的点的收敛是一致的,所以函数 \( f \) 关于复变量 \( z = x + \mathrm{i}y \) 是连续的当且仅当函数 \( f \) 关于两个实变量 \( x, y \) 都是连续的.
根据三角不等式,如果函数 \( f \) 是连续的,那么实值函数 \( \left| {(f\left( z\right) }\right| \) 也一定是连续的. 如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,使得对任意的点 \( z \in \Omega \) ,总有
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right|
\]
则函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点取得最大值. 类似地可以定义最小值.
定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值.
此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了.
## 2.2 全纯函数
接下来引入复分析中的一个非常重要的概念, 它与之前的讨论有区别, 实际上就是引入真复形的概念.
令 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的复变函数. 如果当 \( h \rightarrow 0 \) 时, 比值
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}
\]
(1)
的极限存在,其中 \( h \in \mathbf{C}, h \neq 0 \) 且 \( {z}_{0} + h \in \Omega \) ,称函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,将此极限值记为 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) ,并称为 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处的微商,即
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}.
\]
需要强调的是, \( h \) 是一个可从任意方向上趋于 0 的复数.
如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每个点处都是可微的,则称函数 \( f \) 在集合 \( \Omega \) 上是全纯的. \( F \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的闭子集,如果函数 \( f \) 在某些包含 \( F \) 的开集上是全纯的,则称函数 \( f \) 在闭集 \( F \) 上是全纯的. 如果函数 \( f \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,则称 \( f \) 为整函数.
“全纯的” 有时也可以说是 “正则的” 或 “复可微的”. 式 (1) 中对复可微的定义与一般的实变量函数中微分的定义是完全类似的. 但是, 复变函数的全纯性要比实变量函数的可微性具有更好的性质. 例如, 全纯函数存在无穷阶复微分, 也就是说只要复变函数一阶可微, 就能保证其微分还可以继续微分, 直到无穷多阶. 而实变量函数却存在一阶可微而二阶就不可微的情况. 因此, 任何一个全纯函数都是解析的, 可以在任何点处展成幂级数 (幂级数将在下一节讨论), “解析的” 可以作为 “全纯的” 的同义词. 与复变函数相比, 某些实变函数即使存在无穷阶微分, 也不能展成幂级数. (见练习 23)
例 1 函数 \( f\left( z\right) = z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 1 \) . 事实上,任何多项式函数
\[
p\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z + \cdots + {a}_{n}{z}^{n}
\]
在整个复平面上都是全纯的. 并且
\[
{p}^{\prime }\left( z\right) = {a}_{1} + \cdots + n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
应用下面的命题 2.2 很容易证明.
例 2 函数 \( 1/z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中任何不包含原点的开集上都是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \) \( - 1/{z}^{2} \) .
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. 其他的全纯函数的例子将在后面的章节中介绍, 这些在本书的引言中也已提及.
从上面的式 (1) 中不难知道,函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,当且仅当存在复数 \( a \) ,使得
\[
f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) - {ah} = {h\psi }\left( h\right)
\]
(2)
满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\psi \left( h\right) = 0 \) ,其中 \( \psi \) 是关于无穷小量 \( h \) 的函数,显然 \( a = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) . 从这个形式中容易知道,函数 \( f \) 可微必连续. 类似于实变函数的讨论,应用式 (2) 不难证明以下关于全纯函数的一些重要性质.
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z | 定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列. | Null |
定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值.
此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了.
## 2.2 全纯函数
接下来引入复分析中的一个非常重要的概念, 它与之前的讨论有区别, 实际上就是引入真复形的概念.
令 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的复变函数. 如果当 \( h \rightarrow 0 \) 时, 比值
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}
\]
(1)
的极限存在,其中 \( h \in \mathbf{C}, h \neq 0 \) 且 \( {z}_{0} + h \in \Omega \) ,称函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,将此极限值记为 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) ,并称为 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处的微商,即
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}.
\]
需要强调的是, \( h \) 是一个可从任意方向上趋于 0 的复数.
如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每个点处都是可微的,则称函数 \( f \) 在集合 \( \Omega \) 上是全纯的. \( F \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的闭子集,如果函数 \( f \) 在某些包含 \( F \) 的开集上是全纯的,则称函数 \( f \) 在闭集 \( F \) 上是全纯的. 如果函数 \( f \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,则称 \( f \) 为整函数.
“全纯的” 有时也可以说是 “正则的” 或 “复可微的”. 式 (1) 中对复可微的定义与一般的实变量函数中微分的定义是完全类似的. 但是, 复变函数的全纯性要比实变量函数的可微性具有更好的性质. 例如, 全纯函数存在无穷阶复微分, 也就是说只要复变函数一阶可微, 就能保证其微分还可以继续微分, 直到无穷多阶. 而实变量函数却存在一阶可微而二阶就不可微的情况. 因此, 任何一个全纯函数都是解析的, 可以在任何点处展成幂级数 (幂级数将在下一节讨论), “解析的” 可以作为 “全纯的” 的同义词. 与复变函数相比, 某些实变函数即使存在无穷阶微分, 也不能展成幂级数. (见练习 23)
例 1 函数 \( f\left( z\right) = z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 1 \) . 事实上,任何多项式函数
\[
p\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z + \cdots + {a}_{n}{z}^{n}
\]
在整个复平面上都是全纯的. 并且
\[
{p}^{\prime }\left( z\right) = {a}_{1} + \cdots + n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
应用下面的命题 2.2 很容易证明.
例 2 函数 \( 1/z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中任何不包含原点的开集上都是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \) \( - 1/{z}^{2} \) .
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. 其他的全纯函数的例子将在后面的章节中介绍, 这些在本书的引言中也已提及.
从上面的式 (1) 中不难知道,函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,当且仅当存在复数 \( a \) ,使得
\[
f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) - {ah} = {h\psi }\left( h\right)
\]
(2)
满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\psi \left( h\right) = 0 \) ,其中 \( \psi \) 是关于无穷小量 \( h \) 的函数,显然 \( a = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) . 从这个形式中容易知道,函数 \( f \) 可微必连续. 类似于实变函数的讨论,应用式 (2) 不难证明以下关于全纯函数的一些重要性质.
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi | 定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值. | 此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了. |
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. 其他的全纯函数的例子将在后面的章节中介绍, 这些在本书的引言中也已提及.
从上面的式 (1) 中不难知道,函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,当且仅当存在复数 \( a \) ,使得
\[
f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) - {ah} = {h\psi }\left( h\right)
\]
(2)
满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\psi \left( h\right) = 0 \) ,其中 \( \psi \) 是关于无穷小量 \( h \) 的函数,显然 \( a = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) . 从这个形式中容易知道,函数 \( f \) 可微必连续. 类似于实变函数的讨论,应用式 (2) 不难证明以下关于全纯函数的一些重要性质.
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考 | 例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. | 事实上,\n\n\[\n\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},\n\]\n\n当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同. |
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考察此级数是否绝对收敛,就是要研究级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| {z}^{n}\right|
\]
是否收敛. 我们知道,如果式 (5) 在某点 \( {z}_{0} \) 处绝对收敛,那么此级数在圆域 \( \left| z\right| \) \( \leq {z}_{0} \) 内都是收敛的. 下面证明总存在某个开圆盘 (可能是空集) 使得幂级数在此圆盘内是绝对收敛的.
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的 | 命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:\n\n( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .\n\n(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .\n\n(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且\n\n\[{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.\] | 此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为\n\n\[{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,\]\n\n其中 \( z \in \Omega \) . |
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考察此级数是否绝对收敛,就是要研究级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| {z}^{n}\right|
\]
是否收敛. 我们知道,如果式 (5) 在某点 \( {z}_{0} \) 处绝对收敛,那么此级数在圆域 \( \left| z\right| \) \( \leq {z}_{0} \) 内都是收敛的. 下面证明总存在某个开圆盘 (可能是空集) 使得幂级数在此圆盘内是绝对收敛的.
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得
\[
\left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1.
\]
根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,
\[
{\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}.
\]
根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.
如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的.
注意: 在收敛圆盘的边界上,即 \( \left| z\right| = R \) 上,情况比较复杂,级数可能收敛也可能发散. (见练习 19)
此外, 在整个复平面上都收敛的例子还有三角函数的幂级数, 定义为
\[
\cos z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !},
\]
其中当 \( z \in \mathbf{R} \) 时,它与通常的余弦函数和正弦函数的幂级数的定义是一致的. 联系三角函数和复指数函数的公式
\[
\cos z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\text{ 和 }\sin z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
\]
称为余弦函数和正弦函数的欧拉公式.
幂级数是一类很重要的解析函数, 最突出的特点是它容易处理.
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[ | 命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么\n\n\[ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) . \]\n\n并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且\n\n\[ \det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}. \] | 证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且\n\n\[ {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right) \]\n\n\[ = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \]\n\n又因为\n\n\[ \frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right) \]\n\n\[ = \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) , \]\n\n所以\n\n\[ \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \]\n\n\[ = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.} \]\n\n再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) . |
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考察此级数是否绝对收敛,就是要研究级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| {z}^{n}\right|
\]
是否收敛. 我们知道,如果式 (5) 在某点 \( {z}_{0} \) 处绝对收敛,那么此级数在圆域 \( \left| z\right| \) \( \leq {z}_{0} \) 内都是收敛的. 下面证明总存在某个开圆盘 (可能是空集) 使得幂级数在此圆盘内是绝对收敛的.
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得
\[
\left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1.
\]
根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,
\[
{\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}.
\]
根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.
如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的.
注意: 在收敛圆盘的边界上,即 \( \left| z\right| = R \) 上,情况比较复杂,级数可能收敛也可能发散. (见练习 19)
此外, 在整个复平面上都收敛的例子还有三角函数的幂级数, 定义为
\[
\cos z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !},
\]
其中当 \( z \in \mathbf{R} \) 时,它与通常的余弦函数和正弦函数的幂级数的定义是一致的. 联系三角函数和复指数函数的公式
\[
\cos z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\text{ 和 }\sin z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
\]
称为余弦函数和正弦函数的欧拉公式.
幂级数是一类很重要的解析函数, 最突出的特点是它容易处理.
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[
\left| {\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < {3\varepsilon },
\]
定理得证.
接下来看此定理的应用.
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right | 定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) . | 证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得\n\n\[ u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,\]\n\n\[ v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,\]\n\n其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得\n\n\[ f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,\]\n\n其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且\n\n\[ {f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}. \] |
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得
\[
\left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1.
\]
根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,
\[
{\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}.
\]
根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.
如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的.
注意: 在收敛圆盘的边界上,即 \( \left| z\right| = R \) 上,情况比较复杂,级数可能收敛也可能发散. (见练习 19)
此外, 在整个复平面上都收敛的例子还有三角函数的幂级数, 定义为
\[
\cos z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !},
\]
其中当 \( z \in \mathbf{R} \) 时,它与通常的余弦函数和正弦函数的幂级数的定义是一致的. 联系三角函数和复指数函数的公式
\[
\cos z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\text{ 和 }\sin z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
\]
称为余弦函数和正弦函数的欧拉公式.
幂级数是一类很重要的解析函数, 最突出的特点是它容易处理.
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[
\left| {\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < {3\varepsilon },
\]
定理得证.
接下来看此定理的应用.
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack \) 上是光滑的. 其中,在点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,\cdots, n - 1}\right) \) 处的右导数和左导数不一定相等.
称两个参数化法
\[
z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}\text{ 和 }\widetilde{z} : \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}.
\]
等价,即存在从闭区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 到 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续可导的双射 \( s \mapsto t\left( s\right) \) ,使得 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 且
\[
\widetilde{z}\left( s\right) = z\left( {t\left( s\right) }\right) .
\]
其中 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 表示变化方向一致,也就是说当 \( s \) 从 \( c \) 到 \( d \) 变化时, \( t\left( s\right) \) 也对应着从 \( a \) 到 \( b \) 变化. 所有的参数化法就等价于函数 \( z\left( t\right) \) 能够确定一条有向光滑曲线 \( \gamma \subset \) \( \mathbf{C} \) ,称其为 \( t \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的曲线,曲线的方向与 \( t \) 从 \( a \) 到 \( b \) 变化时 \( z \) 的变化时 \( z \) 的变化方向一致. 与曲线 \( \gamma \) 方向相反的曲线定义为 \( {\gamma }^{ - } \) (曲线 \( \gamma \) 与 \( {\gamma }^{ - } \) 在复平面上重合). 关于曲线 \( {\gamma }^{ - } \) 的特殊的参数化法记为 \( {z}^{ - } : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,定义为
\[
{z}^{ - }\left( t\right) = z\left( {a + b - t}\right) .
\]
同样也容易定义分段光滑曲线. 点 \( z\left( a\right) \) 和 \( z\left( b\right) \) 称为曲线的端点,并且端点的取得并不依赖于参数化法. 因为曲线 \( \gamma \) 是有向的,很自然地称曲线 \( \gamma \) 以 \( z\left( a\right) \) 为起点, \( z\left( b\right) \) 为终点.
如果对任意的参数化法 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称光滑或分段光滑的曲线是封闭的. 如果曲线不是自相交的,也就是说当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,则称光滑或分段光滑曲线是单的. 当然,如果是闭曲线,除了 \( s = a, t = b \) 时,当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,仍称曲线是单的 (见图 3).
图 3 闭的分段光滑曲线
为了简单, 我们称任意分段光滑曲线为曲线, 因为这将是我们主要的研究对象.
举一个很基本也很简单的例子圆周. 考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
其正向 (逆时针方向) 由下列标准的参数化法给出
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{,}
\]
同时, 其负向 (顺时针方向) 为
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{.}
\]
在接下来的章节中,记 \( C \) 为一般的正定向圆周.
函数沿曲线的积分是研究全纯函数的重要工具. 简而言之, 复分析中的一个重要定理为如果函数在封闭曲线 \( \gamma \) 所围成的区域的内部是全纯的,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
在下一章中将重点讨论此定理的等价定理 (称为柯西定理), 而这里我们只着重介绍积分的一些必要的概念和性质.
在复数集 \( \mathbf{C} \) 中给定一条光滑曲线 \( \gamma \) ,将其参数化: \( z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}, f \) 是定义在曲线 \( \gamma \) 上的连续函数,那么定义函数 \( f \) 沿曲线 \( \gamma \) 的积分为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
为了更好地理解上述积分,需要特别指出的是,上式等号右边的积分取决于曲线 \( \gamma \) 的参数化法的选择. 假设 \( \widetilde{z} \) 也是曲线 \( \gamma \) 的一种参数化法,那么积分中变量的形式和链 | 定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得\n\n( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.\n\n(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.\n\n如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即\n\n\[ 1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}. \] | 证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得\n\n\[ \left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1. \]\n\n根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,\n\n\[ {\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}. \]\n\n根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.\n\n如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的. |
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[
\left| {\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < {3\varepsilon },
\]
定理得证.
接下来看此定理的应用.
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack \) 上是光滑的. 其中,在点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,\cdots, n - 1}\right) \) 处的右导数和左导数不一定相等.
称两个参数化法
\[
z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}\text{ 和 }\widetilde{z} : \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}.
\]
等价,即存在从闭区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 到 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续可导的双射 \( s \mapsto t\left( s\right) \) ,使得 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 且
\[
\widetilde{z}\left( s\right) = z\left( {t\left( s\right) }\right) .
\]
其中 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 表示变化方向一致,也就是说当 \( s \) 从 \( c \) 到 \( d \) 变化时, \( t\left( s\right) \) 也对应着从 \( a \) 到 \( b \) 变化. 所有的参数化法就等价于函数 \( z\left( t\right) \) 能够确定一条有向光滑曲线 \( \gamma \subset \) \( \mathbf{C} \) ,称其为 \( t \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的曲线,曲线的方向与 \( t \) 从 \( a \) 到 \( b \) 变化时 \( z \) 的变化时 \( z \) 的变化方向一致. 与曲线 \( \gamma \) 方向相反的曲线定义为 \( {\gamma }^{ - } \) (曲线 \( \gamma \) 与 \( {\gamma }^{ - } \) 在复平面上重合). 关于曲线 \( {\gamma }^{ - } \) 的特殊的参数化法记为 \( {z}^{ - } : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,定义为
\[
{z}^{ - }\left( t\right) = z\left( {a + b - t}\right) .
\]
同样也容易定义分段光滑曲线. 点 \( z\left( a\right) \) 和 \( z\left( b\right) \) 称为曲线的端点,并且端点的取得并不依赖于参数化法. 因为曲线 \( \gamma \) 是有向的,很自然地称曲线 \( \gamma \) 以 \( z\left( a\right) \) 为起点, \( z\left( b\right) \) 为终点.
如果对任意的参数化法 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称光滑或分段光滑的曲线是封闭的. 如果曲线不是自相交的,也就是说当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,则称光滑或分段光滑曲线是单的. 当然,如果是闭曲线,除了 \( s = a, t = b \) 时,当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,仍称曲线是单的 (见图 3).
图 3 闭的分段光滑曲线
为了简单, 我们称任意分段光滑曲线为曲线, 因为这将是我们主要的研究对象.
举一个很基本也很简单的例子圆周. 考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
其正向 (逆时针方向) 由下列标准的参数化法给出
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{,}
\]
同时, 其负向 (顺时针方向) 为
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{.}
\]
在接下来的章节中,记 \( C \) 为一般的正定向圆周.
函数沿曲线的积分是研究全纯函数的重要工具. 简而言之, 复分析中的一个重要定理为如果函数在封闭曲线 \( \gamma \) 所围成的区域的内部是全纯的,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
在下一章中将重点讨论此定理的等价定理 (称为柯西定理), 而这里我们只着重介绍积分的一些必要的概念和性质.
在复数集 \( \mathbf{C} \) 中给定一条光滑曲线 \( \gamma \) ,将其参数化: \( z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}, f \) 是定义在曲线 \( \gamma \) 上的连续函数,那么定义函数 \( f \) 沿曲线 \( \gamma \) 的积分为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
为了更好地理解上述积分,需要特别指出的是,上式等号右边的积分取决于曲线 \( \gamma \) 的参数化法的选择. 假设 \( \widetilde{z} \) 也是曲线 \( \gamma \) 的一种参数化法,那么积分中变量的形式和链式法则表示为
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{c}^{d}\left( {z\left( {t\left( s\right) }\right) }\right) {z}^{\prime }\left( {t\left( s\right) }\right) {t}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s = {\int }_{c}^{b}f\left( {\widetilde{z}\left( s\right) }\right) {\widetilde{z}}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s.
\]
这也就完全阐述了函数 \( f \) 在光滑曲线 \( \gamma \) 上的积分.
若曲线 \( \gamma \) 是分段光滑的,则函数 \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 上的积分就等于函数. \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 的各段光滑曲线上的积分之和. 因此,如果 \( z\left( t\right) \) 是曲线 \( \gamma \) 的分段光滑的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\int }_{{a}_{k}}^{{a}_{k + 1}}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
根据以上定义,光滑曲线 \( \gamma \) 的长度定义为
\[
\text{ length }\left( \gamma \right) = {\int }_{a}^{b}\left| {{z}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t.
\]
根据上面的讨论不难知道, 上述长度的定义同样依赖于曲线的参数化法. 并且,如果曲线 \( \gamma \) 仅仅是分段光滑的,那么其长度应该是各段光滑部分的长度之和.
性质 3.1 连续函数在曲线上的积分满足下列性质:
( i ) 它是线性的,即如果 \( \alpha ,\beta \in \mathbf{C} \) ,那么
\[
{\int }_{\gamma }\left( {{\alpha f}\left( z\right) + {\beta g}\left( z\right) }\right) \mathrm{d}z = \alpha {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z + \beta {\int }_{\gamma }g\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(ii) 如果 \( {\gamma }^{ - } \) 是曲线 \( \gamma \) 的负向曲线,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = - {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(iii) 满足不等式
\[
\left| {{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \gamma }} \mid f\left( z\right) \cdot \op | 定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即\n\n\[ \n{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.\n\]\n\n所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径. | 证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因\n\n为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以\n\n\[ \n\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}\n\]\n\n因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.\n\n下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令\n\n\[ \ng\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},\n\]\n\n令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记\n\n\[ \nf\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,\n\]\n\n其中,\n\n\[ \n{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.\n\]\n\n那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有\n\n\[ \n\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +\n\]\n\n\[ \n\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .\n\]\n\n因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有\n\n\[ \n\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{ |
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack \) 上是光滑的. 其中,在点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,\cdots, n - 1}\right) \) 处的右导数和左导数不一定相等.
称两个参数化法
\[
z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}\text{ 和 }\widetilde{z} : \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}.
\]
等价,即存在从闭区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 到 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续可导的双射 \( s \mapsto t\left( s\right) \) ,使得 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 且
\[
\widetilde{z}\left( s\right) = z\left( {t\left( s\right) }\right) .
\]
其中 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 表示变化方向一致,也就是说当 \( s \) 从 \( c \) 到 \( d \) 变化时, \( t\left( s\right) \) 也对应着从 \( a \) 到 \( b \) 变化. 所有的参数化法就等价于函数 \( z\left( t\right) \) 能够确定一条有向光滑曲线 \( \gamma \subset \) \( \mathbf{C} \) ,称其为 \( t \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的曲线,曲线的方向与 \( t \) 从 \( a \) 到 \( b \) 变化时 \( z \) 的变化时 \( z \) 的变化方向一致. 与曲线 \( \gamma \) 方向相反的曲线定义为 \( {\gamma }^{ - } \) (曲线 \( \gamma \) 与 \( {\gamma }^{ - } \) 在复平面上重合). 关于曲线 \( {\gamma }^{ - } \) 的特殊的参数化法记为 \( {z}^{ - } : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,定义为
\[
{z}^{ - }\left( t\right) = z\left( {a + b - t}\right) .
\]
同样也容易定义分段光滑曲线. 点 \( z\left( a\right) \) 和 \( z\left( b\right) \) 称为曲线的端点,并且端点的取得并不依赖于参数化法. 因为曲线 \( \gamma \) 是有向的,很自然地称曲线 \( \gamma \) 以 \( z\left( a\right) \) 为起点, \( z\left( b\right) \) 为终点.
如果对任意的参数化法 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称光滑或分段光滑的曲线是封闭的. 如果曲线不是自相交的,也就是说当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,则称光滑或分段光滑曲线是单的. 当然,如果是闭曲线,除了 \( s = a, t = b \) 时,当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,仍称曲线是单的 (见图 3).
图 3 闭的分段光滑曲线
为了简单, 我们称任意分段光滑曲线为曲线, 因为这将是我们主要的研究对象.
举一个很基本也很简单的例子圆周. 考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
其正向 (逆时针方向) 由下列标准的参数化法给出
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{,}
\]
同时, 其负向 (顺时针方向) 为
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{.}
\]
在接下来的章节中,记 \( C \) 为一般的正定向圆周.
函数沿曲线的积分是研究全纯函数的重要工具. 简而言之, 复分析中的一个重要定理为如果函数在封闭曲线 \( \gamma \) 所围成的区域的内部是全纯的,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
在下一章中将重点讨论此定理的等价定理 (称为柯西定理), 而这里我们只着重介绍积分的一些必要的概念和性质.
在复数集 \( \mathbf{C} \) 中给定一条光滑曲线 \( \gamma \) ,将其参数化: \( z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}, f \) 是定义在曲线 \( \gamma \) 上的连续函数,那么定义函数 \( f \) 沿曲线 \( \gamma \) 的积分为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
为了更好地理解上述积分,需要特别指出的是,上式等号右边的积分取决于曲线 \( \gamma \) 的参数化法的选择. 假设 \( \widetilde{z} \) 也是曲线 \( \gamma \) 的一种参数化法,那么积分中变量的形式和链式法则表示为
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{c}^{d}\left( {z\left( {t\left( s\right) }\right) }\right) {z}^{\prime }\left( {t\left( s\right) }\right) {t}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s = {\int }_{c}^{b}f\left( {\widetilde{z}\left( s\right) }\right) {\widetilde{z}}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s.
\]
这也就完全阐述了函数 \( f \) 在光滑曲线 \( \gamma \) 上的积分.
若曲线 \( \gamma \) 是分段光滑的,则函数 \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 上的积分就等于函数. \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 的各段光滑曲线上的积分之和. 因此,如果 \( z\left( t\right) \) 是曲线 \( \gamma \) 的分段光滑的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\int }_{{a}_{k}}^{{a}_{k + 1}}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
根据以上定义,光滑曲线 \( \gamma \) 的长度定义为
\[
\text{ length }\left( \gamma \right) = {\int }_{a}^{b}\left| {{z}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t.
\]
根据上面的讨论不难知道, 上述长度的定义同样依赖于曲线的参数化法. 并且,如果曲线 \( \gamma \) 仅仅是分段光滑的,那么其长度应该是各段光滑部分的长度之和.
性质 3.1 连续函数在曲线上的积分满足下列性质:
( i ) 它是线性的,即如果 \( \alpha ,\beta \in \mathbf{C} \) ,那么
\[
{\int }_{\gamma }\left( {{\alpha f}\left( z\right) + {\beta g}\left( z\right) }\right) \mathrm{d}z = \alpha {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z + \beta {\int }_{\gamma }g\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(ii) 如果 \( {\gamma }^{ - } \) 是曲线 \( \gamma \) 的负向曲线,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = - {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(iii) 满足不等式
\[
\left| {{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \gamma }} \mid f\left( z\right) \cdot \operatorname{length}\left( \gamma \right) .
\]
证明 第一个性质从积分的定义或黎曼积分的线性性质中很容易得到, 第二个性质留给读者证明, 而第三个性质也很容易证明,
\[
\left| {{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {f\left( {z\left( t\right) }\right) }\right| {\int }_{a}^{b}\left| {{z}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \gamma }}\left| {f\left( z\right) }\right| \cdot \operatorname{length}\left( \gamma \right) .
\]
前面已经提过,柯西定理指的是若 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数, \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 内的任意一条封闭曲线, 则
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
原函数的存在给了上述现象一个合理的解释. 如果 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的函数,其原函数是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,记为 \( F \) ,即对任意的 \( z \in \Omega ,{F}^{\prime }\left( z\right) = f\left( z\right) \) .
定理 3.2 若连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上具有原函数 \( F,\gamma \) 是 \( \Omega \) 内分别以 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 为起止点的曲线, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = F\left( {w}_{2}\right) - F\left( {w}_{1}\right) .
\]
证明 如果 \( \gamma \) 是光滑的,此证明仅仅是链式法则和微积分的基本定理的简单应用. 事实上,如果 \( z\left( t\right) : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是曲线 \( \gamma \) 的参数化法,那么 \( z\left( a\right) = {w}_{1}, z\left( b\right) = \) \( {w}_{2} \) ,则
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}{F}^{\prime }\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F\left( {z\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) \text{.}
\]
如果 \( \gamma \) 只是分段光滑的,那么跟前面的讨论类似,可以得到一个可加和
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( {F\left( {z\left( {a}_{k + 1}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{k}\right) }\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {z\left( {a}_{n}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) \text{.}
\]
推论 3.3 如果 \( \gamma \) 是开集 \( \Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \Omega \) 上存在原函数, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是因为封闭曲线的起止点重合了.
例如,函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) ,在开集 \( \mathbf{C} - \{ 0\} \) 上不存在原函数,因为如果集合 \( C \) 是单位圆周,其参数化法为 \( z\left( t\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},0 \leq t \leq {2\pi } \) ,那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = {2\pi }\mathrm{i} \neq 0.
\]
在随后的章节中, 我们将会看到这种简单的计算, 它提供了一些函数在封闭曲线上的积分不等于零的例子, 而这才是定理的核心.
推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数.
证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,
\[
{\int }_{\gamma }{f}^{\prime }\lef | 推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶. | 前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}, \]\n\n\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果\n\n\[ g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}, \]\n\n那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则\n\n\[ {f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}. \] |
End of preview. Expand
in Data Studio
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 4